Conceptos Básicos de Probabilidad
Experimento aleatorio
Conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.
Espacio muestral
Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Punto muestral o suceso elemental
El resultado de una sola prueba de un experimento muestral.
Suceso o evento
Cualquier subconjunto de puntos muestrales.
Sucesos mutuamente excluyentes
Sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente.
Sucesos complementarios
Dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral.
Sucesos independientes
Sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.
Sucesos dependientes
Sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.
Problemas resueltos
- Si yo tengo una canasta llena de peras y manzanas, de las cuales hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?
Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una manzana mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que:
P(Manzana)=10/30=1/3= 33.3% probable
Calculando igual, la probabilidad de sacar pera es:
P(Pera)=20/30=2/3= 66.7% probable
Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una pera, pues hay más peras que manzanas en la canasta.
- La probabilidad de que al lanzar un dado, salga el numero 2 es de
1/6
porque el dos es solo uno de 6 números que hay en total.
REGLAS DE LA SUMA DE LA PROBABILIDAD
Si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes, esta regla indica que la probabilidad de que ocurra uno u otro de los eventos, es igual a la suma de sus probabilidades.
P(A ó B) = P(A U B)P(A U B) = P(A)+ P (B)P(A ó B ó...ó Z) = P(A U B U...U Z)P(A U B U...UZ)= P(A)+ P(B) +... P(Z)REGLA GENERAL DE LA ADICIÓN
Cuando los eventos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de la ocurrencia conjunta de los dos eventos, se resta de la suma de las probabilidades de los dos eventos.P(A ó B) = P(A) + P(B) - P(A y B) En la teoría de conjuntos, la ocurrencia conjunta hace referencia a la intersección, por lo tanto:P(A y B) = P(A ∩B)Entonces: P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
- ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de datos?
s(7)={ (1,6),(2,5),(3,4),(6,1),(5,2),(4,3) }
s(11)={ (5,6),(6,5) }
P(7)= 6/36 = 1/6
P(11)= 2/36
- Si las probabilidades de alguien que compra un auto para elegir un color entre Verde, Blanco, Rojo o Azul, son respectivamente 0.9, 0.15, 0.21, 0.23.
Cual es la probabilidad de que un comprador adquiera un automóvil que tenga uno de esos colores.
P(V U B U R U A)= 0.9+0.15+0.21+0.23 = 0.68
Los eventos son independientes. Ya que no hay intersecciones (el auto no puede tener dos colores), simplemente se suman las probabilidades de cada color disponible para el automóvil.
Regla general para eventos dependientes
Si A y B son dos eventos dependientes, es decir, si la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B, entonces, dicha probabilidad de calcula empleando la siguiente regla:
Nota:
La probabilidad del evento B, calculada bajo la suposición de que el evento A ha ocurrido, se denomina probabilidad condicional de B, dado A, y se denota por P (B/A).
Ejemplos:
De una baraja estándar de 52 cartas sea A el suceso de sacar un As en la primera extracción y B sacar un As en la segunda extracción. Calcular la probabilidad de sacar dos Ases en dos extracciones sin devolver la carta extraída.
Solución:
A y B son sucesos dependientes porque la ocurrencia de A afecta la probabilidad de ocurrencia de B.
La probabilidad de que la primera carta sea un As es:
Reemplazando los anteriores valores en la regla general de la multiplicación de probabilidades para eventos dependientes se obtiene:
Probabilidad Condicional
Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad deA dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Un ejemplo clásico es el lanzamiento de una moneda para luego lanzar un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara (moneda) y luego un 6 (dado)? Pues eso se escribiría como P (Cara | 6).
- Se seleccionan dos semillas aleatoriamente, una por una, de una bolsa que contiene 10 semillas de flores rojas y 5 de flores blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que:
- La primera semilla sea roja?
- La segunda semilla sea blanca dado que la primera fue roja?
- La probabilidad de que la primera semilla sea roja es
, puesto que hay 10 semillas de flores rojas de un total de 15. Escrito con notación de probabilidad tenemos:
- La probabilidad de que la segunda semilla sea blanca se ve influida por lo que salió primero, es decir esta probabilidad está sujeta a una condición, la de que la primera semilla sea roja. Este tipo de probabilidad se le llama probabilidad condicional y se denota por
Esta probabilidad
, puesto que todavía hay 5 semillas blancas en un total de 14 restantes.
Teorema de Bayes
La interpretación más aceptada del teorema de Bayes, es que su estructura permite el calculo de probabilidades después de haber sido realizado un experimento (probabilidades aposteriori), basándose en el conocimiento de la ocurrencia de ciertos eventos que dependan del evento estudiado, o sea, se parte de probabilidades conocidas antes de efectuar el experimento (probabilidades apriori), las cuales son afectadas por las probabilidades propias del experimento (las que aparecen durante la ocurrencia del evento).
Continuando nuestro análisis sobre el teorema de Bayes, la probabilidad condicional deAi dado B, para cualquier i, es:
Aplicando en el numerador la Regla de Multiplicación P(AiÇB) = P(Ai) P(B|Ai) y en el denominador el Teorema de Probabilidad Total P(B) = P(A1) P(B | A1) + P(A2) P(B | A2) + . . . + P(An) P(B | An), obtenemos la ecuación que representa al:
En la teoría de probabilidad el teorema de Bayes es un resultado enunciado por Thomas Bayes en 1763 que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
Ejemplo:
- En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.
a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.
SOLUCIÓN:
Se definen los sucesos:
Suceso H: seleccionar una niña.
Suceso V: seleccionar un niño.
Suceso M: infante menor de 24 meses.
En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.
a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:
b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay quepartir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:
- A un congreso asisten 100 personas, de las cuales 65 son hombres y 35 son mujeres. Se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres son especialistas en computación. Si se selecciona al azar a un especialista en computación ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?
Solución
Definamos los eventos:
H: Sea un hombre
M: Sea una mujer
E: La persona sea especialista en computación
Tenemos que:
Por lo tanto:
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